נולד בהונגריה כאליעזר שטרנברג, עלה לישראל בגיל 10 עם הוריו וחמשת אחיו. המשפחה התיישבה בחיפה. בגיל 12 התגייס ל'הגנה'. הקים וריכז את סניף 'בני עקיבא' בחיפה עד הצטרפותו ליישוב 'משואות יצחק' בגוש עציון.

לאחר המצור והמלחמה על הגוש נפל יחד עם חברי 'משואות יצחק' בשבי הירדני. עם שחררום לאחר תשעה חודשים הקימו מחדש את יישובם באזור 'שפיר'. אליעזר עבד והשתלב בכל עבודות המשק ועם הקמת המושב 'שפיר' על ידי עולים מהונגריה, התנדב ללמדם עברית כיוון שהיה היחיד שסיים בית ספר תיכון.

לימים נשלח ללימודי הוראה והיה בין ראשוני המורים במועצה האזורית 'שפיר' ובישיבה התיכונית 'אור עציון'. במקביל, החל בלימודי ספרנות באוניברסיטה העברית ויזם את הקמתה של הספרייה המשותפת ש.ק.ל - שפיר, קרית גת, לכיש, במטרה להנגיש את הספרות והספרים לכל בית ובית.

בשנת 1960 החל במסלול לימודים לדוקטורט, בתואר הראשון למד ספרות עברית ותולדות ישראל, התואר השני עסק בנושא: 'פלוגות העבודה של יהודי הונגריה במלחמת העולם השנייה" ובדוקטורט: 'פדיון שבויים בחברה היהודית בארצות הים התיכון'. עבודת הדוקטורט הוצאה לאור בספר: 'פדיון שבויים' וזכתה לפרס הספרות של עיריית רמת-גן.

משך שנים ארוכות לימד באוניברסיטת בר אילן. בשנת 1965 הוזמן על ידי  ד"ר טוביה בר אילן ללמד בשלוחת האוניברסיטה שהוקמה באשקלון, ולימד קורס על היהודים בארצות האסלאם. בהמשך מונה ליו"ר ועדת הביקורת ולחבר באסיפה הכללית, תפקיד בו שימש עד לפרישתו בגיל 90.

אליעזר כתב ופרסם 13 ספרים, רובם ככולם עוסקים בחקר יהדות צפון אפריקה, תוך התמקדות ביהדות מרוקו. מחקריו נחשבים לראשוניים ומסכמים בצורה מפורטת את אורח חייו של עם ישראל בארצות המזרח.

את סקרנותו הרבה לחקר תולדות עם ישראל בארצות המזרח גילה יחד עם מורהו שעודדו לחקור את הנושא בעת שהיה בשנת שבתון ב'לונדון סקול', מוסד אקדמאי יוקרתי.

בין מחקריו הרבים הקדיש חלק נכבד לחקר נשות חייל במרוקו ואף כתב על כך ספר. מדובר בנשים שגילו יוזמה, אומץ רוח וחריצות יוצאת דופן. נשים שבמקביל לקיום משק הבית, סייעו לבעליהן, עסקו בפעילות ציבורית ואף עלו על המוקד על קידוש ה'.

בימים אלו שוקד איעזר על כתיבת  ספר חדש על יהדות קזבלנקה וגיברלטר, על גבול ספרד.

אליעזר: "אני גאה ליטול חלק בטקס הוקרה שכזה. המחקרים שלי נעשו בעיקר מתוך סקרנות אישית והם מתמקדים בעיקר בתרבות היהודית בארצות המזרח התיכון, משום שהתרבות הזו כאילו נעלמה. ראיתי אתגר לחשוף את התרבות הזו בגלל שהחברה היהודית שם לא קיבלה את הכיסוי הספרותי המתאים. חשוב לי לציין כי היה לי מרצה חשוב".

איזה מסר יש לך לדור הצעיר?

"המסקנה שלי היא שאדם צריך לפעול עד סוף ימיו, גם אם מתקיימת חולשה בגוף, עליו להמשיך ולפעול. אדם צריך להעריך את ביתו ומשפחתו, את ילדיו ואת העובדה שהם עומדים לצידו, כפי שאני קיבלתי תמיכה מאשתי, דבורה. חקוק בראשי זיכרון ילדות ראשון מגיל ארבע כשלמדתי בחדר: למדנו את המשפט שאמר ה' אל אברהם על ארץ ישראל: "לזרעך אתננה". אני זוכר שחזרתי באותו יום הביתה, ניגשתי לאבי ושאלתי אותו: 'מתי נלך לשם?'".

אליעזר במחשב

אליעזר ואישתו